这部分是度量空间中 “点的连续性” 与 “邻域原像” 的等价关系证明，核心是把 “连续性” 转化为 “邻域的原像还是邻域”，这里分 “必要性” 和 “充分性”予以证明：

这个命题的本质是：度量空间中 “点的连续性” 等价于 “邻域的原像保持邻域性质”—— 它把连续性的 “ε-δ语言” 转化为 “邻域的原像语言”，是从 “度量” 过渡到 “拓扑” 的关键桥梁（后续拓扑空间的连续性，直接用邻域原像定义）。

连续性的ε-δ定义与邻域原像定义的对应表